Im Prizip ist es völlig wurscht, an welchem Wochentag man losgeht. In der Hauptwanderzeit würde ich aber versuchen, das Karwendelhaus oder die Lizumer Hütte nicht gerade Freitag oder Samstag aufsuchen. Anfang Juli ist auch das unbedenklich.
Manchmal gibt es ja Ausweichmöglichkeiten wie z. B. auf dem Hallanger oder bei der Talübernachtungen (Wattens, Innnsbruck oder dann in Südtirol).